Cuenta una leyenda árabe que Abdel Salam y Al-Mustafá, dos comerciantes persas, regresaban de un viaje de negocios realizados en tierras lejanas a su aldea de residencia, en compañía de otros comerciantes. Las personalidades de ambos personajes eran muy diferentes: Salam le gustaba presumir de su riqueza y era avaricioso, mientras que Mustafá era máscallado y analítico, pendiente de la escucha.
Todas las noches durante el período de regreso, se sentaban los grupos de comerciantes alrededor de una fogata para compartir anécdotas, pero Salam, no hacía otra cosa más que presumir su riqueza aludiendo al hecho de que no había comerciante alguno que tuviese su riqueza, mientras que Mustafá se mantenía callado. Durante la última noche previo a su llegada a Persia, Mustafá tomó la palabra y dijo: soy tan rico que estoy en capacidad de regalar parte de mi fortuna a quien desee, sin que eso afecte mis finanzas, podría inclusive regalarle ese dinero al más rico de Persia (incluyendo a Salam) y aún así, este nunca me podría igualar.
Salam empezó a enfadarse de envidia, pero, seguía escuchando.
Continuó Mustafá diciendo: para celebrar mi llegada a Persia, he decidido obsequiar durante un mes, la suma de $100 000 por día hasta llegar al día 31.
Salam, con su buen olfato para los negocios, no negó en ofrecerse como voluntario para albergar dicha fortuna, ofreciendo su incondicional amistad de por vida a Mustafá y que además, estaría dispuesto a cumplir cualquier favor. Entonces, Mustafá le dijo: acepto tu ofrecimiento, pero a cambio te pido lo siguiente, el primer día cuando vengas por los $100 000, deberás pagarme un centavo, el segundo día te llevarás otros $100 000 y me pagarás 2 centavos, similarmente al tercer día me pagarás 4 centavos, y así sucesivamente hasta llegar al trigésimo primer día. Salam le extrañó la petición de Mustafá, pero, al ver la ridícula cantidad que tenía que pagar en comparación con lo recibido, aceptó el trato.
Esa noche Salam no pudo conciliar el sueño, pensando en la cantidad de dinero que estaría recibiendo durante los siguientes 31 días.
ESTO ES LO QUE HAY QUE HACER PARA RESOLVER ESTE RETO!!
Para resolver este problema, deberán construir dos modelos diferentes: uno que muestre el ingreso que percibe Salán y otro que percibe Muatafá.
Se recomienda hacerlo mediante un análisis comparativo donde podamos ver la
evolución de ambos casos en el transcurso de las semanas.
Al final, debemos responder: ¿quién ganó más dinero: Salam o Mustafá?. Tome en cuenta que el modelo de ingresos que describe la situación de Salam es de tipo lineal, mientras que el de Mustafá parece ser exponencial. Este segundo modelo exponencial, debe ser descrito mediante una fórmula recursiva, la cual deberá terminar resumida en una fórmula explícita.
Lo siguiente es una tabla con lo que reciben de salario cada dia
ResponderEliminarnumero de días / recibe sálan / recibe muatafá
1 / $1 000 00 // 1 centavos
2 / $1 000 00 // 2 centavos
3 / $1 000 00 // 4 centavos
4 / $1 000 00 // 8 centavos
5 / $1 000 00 // 16 centavos
6 / $1 000 00 // 32 centavos
7 / $1 000 00 // 64 centavos
8 / $1 000 00 // 128 centavos
9 / $1 000 00 // 256 centavos
10 / $1 000 00 // 512 centavos
11 / $1 000 00 // 1024 centavos
12 / $1 000 00 // 2048 centavos
13 / $1 000 00 // 4096 centavos
14 / $1 000 00 // 8192 centavos
15 / $1 000 00 // 16384 centavos
16 / $1 000 00 // 32768 centavos
17 / $1 000 00 // 65536 centavos
18 / $1 000 00 // 131 072 centavo
19 / $1 000 00 // 262144 centavos
20 / $1 000 00 // 524288 centavos
21 / $1 000 00 // 1048576 centavos
22 / $1 000 00 // 2097152 centavos
23 / $1 000 00 // 4194304 centavos
24 / $1 000 00 // 8388608 centavos
25 / $1 000 00 // 16777216 centavos
26 / $1 000 00 // 33554432 centavos
27 / $1 000 00 // 67108864 centavos
28 / $1 000 00 // 134217728 centavos
29 / $1 000 00 // 268435456 centavos
30 / $1 000 00 // 536870912 centavos
31 / $1 000 00 // 1073741824 cenntavos
Lo siguiente sera una tabla en la que se demostrara lo que tiene cada persona como van avanzando los dias.
ResponderEliminarnumero de días / recibe sálan / recibe muatafá
1 / $100 000 // 1 centavos
2 / $200 000 // 3 centavos
3 / $300 000 // 7 centavos
4 / $400 000 // 15 centavos
5 / $500 000 // 31 centavos
6 / $600 000 // 63 centavos
7 / $700 000 // 127 centavos
8 / $800 000 // 255 centavos
9 / $900 000 // 511 centavos
10 / $1 000 000 // 1023 centavos
11 / $1 100 000 // 2047 centavos
12 / $1 200 000 // 4095 centavos
13 / $1 300 000 // 8191 centavos
14 / $1 400 000 // 16383 centavos
15 / $1 500 000 // 32767 centavos
16 / $1 600 000 // 65535 centavos
17 / $1 700 000 // 131071 centavos
18 / $1 800 000 // 262143 centavo
19 / $1 900 000 // 5242287 centavos
20 / $2 000 000 // 1048576 centavos
21 / $2 100 000 // 2097152 centavos
22 / $2 200 000 // 4194303 centavos
23 / $2 300 000 // 8388607 centavos
24 / $2 400 000 // 16777215 centavos
25 / $2 500 000 // 33554431 centavos
26 / $2 600 000 // 67108863 centavos
27 / $2 700 000 // 134217727 centavos
28 / $2 800 000 // 268435455 centavos
29 / $2 900 000 // 536870911 centavos
30 / $3 000 000 // 1073741823 centavos
31 / $3 100 000 // 2147483647 cenntavos
A partir de estos resultados podemos deducir que que Mustafa gano mas dinero ya que Salam obtuvo al dia 31 la suma de $3 100 000 mientras que mstafa obtuvo $21 474 836.47!!
ResponderEliminarEl modelo fue de mustafa fue obtenido mediante la formula recursiva
ResponderEliminar* a1 = 1
* a2 = 1 + 2 = (2^1) * 2-1 = 3
* a3 = 1 + 2 + 4 = (2^2) * 2-1 = 7
* a4 = 1 + 2 + 4 + 8 = (2^3) * 2-1 = 15
* an = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + (2^n-1) = (2^n-1) * 2-1
Y atravez de esta formula recursiva pudimos lograr concluir una formula explicita que seria la siguiente:
ResponderEliminar.: Suponiendo que la formula 1+ 2 + (2^2) + ... + (2^n) = (2^n+1) - 1 es tomada en cuenta para resolver el problema concluimos que:
La formula explicita seria:
1 + 2 + (2^2) + (2^3) + ... + (2^n-1) = (2^n)-1