Bienvenidos!!

En este blog podrán encontrar una serie de retos donde podrán divertirse un rato a los que nos gusta un poco acerca de lo que son matemáticas y aprender un poco mas de ellas cada día!!
Espero que logren disfrutarlo y sea de su gusto...

Reto 4: Las Torres de Hanoi

La Torre de Hanoi es un juego que consiste en tres
estacas montadas en una tabla y n discos de varios
tamaños con agujeros en sus centros. Se supone que
si un disco está en una estaca, sólo un disco de
diámetro más pequeño se puede colocar encima de él.
Si se tienen todos los discos apilados en una estaca
específica inicial, el problema consiste transferir los discos a otra estaca moviendo un
disco a la vez.

SE DEBERA REALIZAR LO SIGUIENTE CON LA INFORMACION

Calcule, para cada caso, el número de movimientos necesarios para mover los discos de la torre donde se encuentren inicialmente hacia otra torre, tomando en cuenta que el juego posea 1 disco, 2 discos y 3 discos (cada caso por separado).
Analice los resultados del punto (1) e induzca una fórmula recursiva que le permita calcular el número de movimientos requeridos. Con esta fórmula, infiera el número de movimientos mínimos que necesitaría realizar una persona, sabiendo que el juego de las Torres de Hanoi dispone de 4 discos.
Induzca una fórmula explícita que le permita calcular, a partir del número de discos
“n”, el número de movimientos mínimos requeridos para resolver el juego de las Torres de Hanoi.

Reto 3: Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una de las más
conocidas en los cursos de matemática y de
programación, por su interesante aplicación
práctica. Esta sucesión se define en forma recursiva
de la siguiente manera:

( Fn= Fn-1 + Fn-2 )


Sobre esta relación de recurrencia, ustedes deberán investigar sobre la aplicación práctica de la fórmula: ¿Qué fenómenos o situaciones se describen con los datos que arroja esta sucesión?. Además, deberán buscar y justificar una fórmula explícita que permita calcular cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.

Reto 2: Una lleyenda árabe

Cuenta una leyenda árabe que Abdel Salam y Al-Mustafá, dos comerciantes persas, regresaban de un viaje de negocios realizados en tierras lejanas a su aldea de residencia, en compañía de otros comerciantes. Las personalidades de ambos personajes eran muy diferentes: Salam le gustaba presumir de su riqueza y era avaricioso, mientras que Mustafá era máscallado y analítico, pendiente de la escucha.
Todas las noches durante el período de regreso, se sentaban los grupos de comerciantes alrededor de una fogata para compartir anécdotas, pero Salam, no hacía otra cosa más que presumir su riqueza aludiendo al hecho de que no había comerciante alguno que tuviese su riqueza, mientras que Mustafá se mantenía callado. Durante la última noche previo a su llegada a Persia, Mustafá tomó la palabra y dijo: soy tan rico que estoy en capacidad de regalar parte de mi fortuna a quien desee, sin que eso afecte mis finanzas, podría inclusive regalarle ese dinero al más rico de Persia (incluyendo a Salam) y aún así, este nunca me podría igualar.
Salam empezó a enfadarse de envidia, pero, seguía escuchando.
Continuó Mustafá diciendo: para celebrar mi llegada a Persia, he decidido obsequiar durante un mes, la suma de $100 000 por día hasta llegar al día 31.
Salam, con su buen olfato para los negocios, no negó en ofrecerse como voluntario para albergar dicha fortuna, ofreciendo su incondicional amistad de por vida a Mustafá y que además, estaría dispuesto a cumplir cualquier favor. Entonces, Mustafá le dijo: acepto tu ofrecimiento, pero a cambio te pido lo siguiente, el primer día cuando vengas por los $100 000, deberás pagarme un centavo, el segundo día te llevarás otros $100 000 y me pagarás 2 centavos, similarmente al tercer día me pagarás 4 centavos, y así sucesivamente hasta llegar al trigésimo primer día. Salam le extrañó la petición de Mustafá, pero, al ver la ridícula cantidad que tenía que pagar en comparación con lo recibido, aceptó el trato.
Esa noche Salam no pudo conciliar el sueño, pensando en la cantidad de dinero que estaría recibiendo durante los siguientes 31 días.

ESTO ES LO QUE HAY QUE HACER PARA RESOLVER ESTE RETO!!

Para resolver este problema, deberán construir dos modelos diferentes: uno que muestre el ingreso que percibe Salán y otro que percibe Muatafá.
Se recomienda hacerlo mediante un análisis comparativo donde podamos ver la
evolución de ambos casos en el transcurso de las semanas.
Al final, debemos responder: ¿quién ganó más dinero: Salam o Mustafá?. Tome en cuenta que el modelo de ingresos que describe la situación de Salam es de tipo lineal, mientras que el de Mustafá parece ser exponencial. Este segundo modelo exponencial, debe ser descrito mediante una fórmula recursiva, la cual deberá terminar resumida en una fórmula explícita.

Reto 1. La Buena Paga!!

..En tiempos remotos vivía en la India, en la apartada región de Taligana, un generoso rey llamado Iadava, quien había perdido en reciente batalla a su hijo el príncipe Adjamir.
La tristeza y la angustia invadió al rey sumiéndolo en un profundo estado de melancolía que le separó de la vida pública de su provincia; el rey no entendía cómo habiendo ganado la batalla, su hijo el príncipe debió perder la vida.
Sus ministros y cortesanos hicieron lo imposible para distraer a su Rey; bufones, balabaristas, adivinos y afamados músicos y bailarines desfilaron ante el acongojado Rey; todo sin resultado positivo.
Enterado de ello, un modesto joven llamado Sissa, del pueblo de Lahur, se dedicó a crear un juego tan interesante que pudiera distraerlo de sus múltiples pesares, le hiciera comprender los errores de su campaña y le abriera nuevamente el corazón a la alegría.
Presentado ante el atribulado soberano, Sissa precedió a abrir una caja en la que guardaba un hermoso tablero de 64 casillas, y un juego de piezas de madera tallada.
Seguidamente explico a su Rey que se trababa simplemente de un juego en el que participaban dos personas, quienes tendrían a su disposición dos ejércitos; cada uno de ellos igualmente constituido por la infantería, constituida por ocho piezas pequeñas llamadas peones; dos elefantes (artillería pesada), dos caballos (caballería), dos visires (consejeros) y una Reina con su Rey.
Tan sencilla y clara fue la presentación que pocas horas después el Rey conocía ya las reglas básicas del invento de Sissa, el juego del Ajedrez y se animaba a invitar a sus ministros para lugar partidas donde estos pudieran exhibir su inteligencia y talento militar.
Estas primeras partidas fueron muy provechosas porque lo enseñaron sobre la necesidad de planificar las acciones, la de luchar permanentemente por el logro de los objetivos y de sacrificar en ocasiones cosas valiosas en pro del bienestar de la mayoría.
Además aprendió sobre los errores cometidos en combate permitiéndole comprender la importancia de la muerte de su hijo, del príncipe Adjamir, en la victoria obtenida para la sobrevivencia del reino de Taligana.
Días después, el muy entusiasmado el Rey Iadava comenzó a incorporarse a la vida pública, a atender los asuntos de estado y las necesidades de su pueblo.
Habiendo vuelto la alegría a la corte el Rey Iadava quiso premiar la imaginación a la inteligencia de su súbdito Sissa, habiendo recibido de su propio Rey ofertas de fortunas, tierras y poder, y luego de reflexionar largamente, Sissa le contestó que su único interés al inventar el juego del ajedrez era que la alegría volviera a la corte y al pueblo de Taligana.
Sin embargo, ante la insistencia del rey por recompensar su creación, Sissa le propuso que le pagara un grano de trigo por la primera casilla, dos granos por la segunda, 4 granos por la tercera y así sucesivamente hasta completar las 64.
Al rey aceptó la solicitud, aunque le parecía muy ingenua, ¿por qué no pedir una amplia extensión de terreno o una cantidad importante en oro y joyas preciosas?.
Entonces el rey le solicitó a los matemáticos asesores que calcularan la cantidad de granos de trigo que debía entregarle a Sissa y que lo hicieran efectivo inmediatamente.
A los pocos días, el grupo de matemáticos se presentó y le informa al rey que esa paga resulta imposible, que ni él con todo su poder podría saldar esa deuda.
Sorprendido el rey pregunta: ¿cuál es esa cantidad monstruosa a la que se refieren?.

ESTO ES LO QUE SE DEBE HACER CON LA INFORMACION!!

Deben calcular esa cantidad de granos de trigo que responda correctamente a la pregunta anterior hecha por el rey. Dicha respuesta debe estar acompañada de una sucesión de recurrencia que describa el algoritmo para hacer los cálculos, así como su respectiva fórmula explícita. Debe aparecer el análisis de la deducción de dicha fórmula, exponiendo el proceso o estrategia seguida: por ejemplo, un análisis hacia delante.