La sucesión de Fibonacci es una de las más
conocidas en los cursos de matemática y de
programación, por su interesante aplicación
práctica. Esta sucesión se define en forma recursiva
de la siguiente manera:
( Fn= Fn-1 + Fn-2 )
Sobre esta relación de recurrencia, ustedes deberán investigar sobre la aplicación práctica de la fórmula: ¿Qué fenómenos o situaciones se describen con los datos que arroja esta sucesión?. Además, deberán buscar y justificar una fórmula explícita que permita calcular cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.
f(n)= f(n-1)+ f(n-2), esto es igualado a cero
ResponderEliminarf(n)- f(n-1)- f(n-2)=0
se pasa a términos de x
x^2-x-1=0, se busca soluciones y son:
x1=1.618033989 y x2= 0.3180339887, ambos soluciones son distintas entonces la forma sería
As1^n + Bs2^n, y sustituimos
A*(1.618033989 )^n + B *(-0.6180339887)^n , entoces para hacer el sistema de equiaciones sería asi:
A*(1.618033989 )^0 + B *(-0.6180339887)^0=0
A+B=0
A*(1.618033989 )^1 + B *(-0.6180339887)^1=1
1.618033989 *A + -0.6180339887*B=1
y las soluciones serian
A= 0.4472135955
B= -0.4472135955
entonces la formual explicita quedaria
0.4472135955*(1.618033989 )^n + -0.4472135955*(-0.6180339887)^n
Tambien si lo prefieren podrian cambiar los valores de A y B de la siguiente manera!!
A=(1/√5) B= - (1/√5)
Aquí tenemos una ligera demostración como esto funciona!!
ResponderEliminarLa sicesion inicia con 0 y 1, y a partir de ahi cada elemento es la suma de los dos anteriores.
Los numeros de fibonacci F0, F1, F2, F3 quedan definidos por las ecuaciones
F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2 para n = 2,3,4,5...
Esto produce los numeros
* f0 = 0
* f1 = 1
* f2 = 1
* f3 = 2
* f4 = 3
* f5 = 5
* f6 = 8
* f7 = 13
* f8 = 34
* f9 = 47
* f10 = 81
* f11 = 128
* f12 = 209
* f13 = 337
* f14 = 546
* f15 = 883
* f16 = 1429
* f17 = 2312
* f18 = 3741
* f19 = 6053
* f20 = 9794
* f21 = 15847
* f22 = 25641
* f23 = 41488
* f24 = 67129
* f25 = 108617
Y asi sucesivamente de manera infinita.